Das Problem ist ja gerade das dort eine Differenz ist wo normalerweise keine seien sollte.
Printable View
Gehört zwar nicht ganz zum Thema aber naja...
Ist ein Rätsel (für viele ^^)/ Problem und hat was mit Mathe zu tun...
Ich versuchs mal...:P
btw:
klügste Schülerfrage...^^
Hab das übrigens in einer meiner ersten Klausuren an der Uni bewiesen...
zwar umständlicher als der folgende Beweis aber naja :P
Erstmal eine ganz wichtige Reihe:
Die Geometrische Reihe
Beispiele:
Summe über 1^k
d.h. man addiert: 1^0 + 1^1 + 1^2+1^3+... usw...man wird sehen das wird unendlich. d.h. Mit 1 konvergiert es nicht.
Summe über (1/2)^k
1/2^0 + 1/2^1 + 1/2^2 + ... = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +.... Das wird gegen 2 konvergieren.
Allgemein: Summe über q^k
Wichtig ist dass die geometrische Reihe bei 0 anfängt und bis unendlich geht.
Und das die Zahl q Betragsmäßig kleiner als 1 sein muss damit die Summe konvergiert.
D.h. die geometrische Reihe mit 1/2 oder -1/2 konvergiert aber mit 2 nicht...
Und der Grenzwert ist: 1/(1-q)
So...gucken wir uns mal die Summe über 9/10^k an.
Das ist 0,999999 Periode....
d.h. 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 +.... = 0,9999....
Hier fängt die Summe erst ab 1 an....da 9/10^0 = 9 ist...und wir nicht 9,99999...haben wollten sondern 0,9999...
Die 9 kann man aus der Summe ziehen:
9 * Summe über 1/10^k...nach der Geometrischen Reihe konviergt das gegen:
9* (1/(1-1/10)) = 9* (10/9) = 10.
Da man bei der Geometrischen Reihe bei 0 anfangen muss haben wir einen Fehler gemacht. Um genau zu sein um 9/10^0 = 9.
D.h. das Ergebnis ist 10-9 = 1.
Naja...vllt versteht mich ja irgendeiner...:P
Scheiß Mathe-Studi. :)
Äääh, ich weiß ja nicht, worauf du hinauswillst, aber...
Die allgemeine Formel der geometrischen Reihe ist ja a*q^k.
Dein a ist 9 und dein q ist 1/10.
Die Konvergenz errechnet sich nach a/(1-q), was 9/(1-1/10) = 9/(9/10) = 9*10/9 = 90/9 = 10 ist.
Und 9/10^k ist je nach k 0,9 oder 0,9999 oder 0,9999999999 etc.
Aber das war ja auch nicht die Frage, denn es geht um die Summe von 0 bis Unendlich über diesem Term.
Und dessen erstes Glied (für k=0) ist nun mal 9, wozu dann noch die von dir gezeigten 0,999... addiert werden und sich (bei unendlich) die Zahl 10 ergibt.
:ka:
Greetz,
Meta